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By S. Yamamuro

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10 m´erite d’ˆetre appel´e crit`ere jacobien de lissit´e. Il permet de reconnaˆıtre, th´eoriquement, si un S-pr´esch´ema donn´e Y est lisse sur S en un point x de Y , puisque il existe toujours un voisinage de Y isomorphe `a un sous-pr´esch´ema d’un S-pr´esch´ema lisse X, par exemple X = S[t1 , . . , tn ]. C’est d’ailleurs pour X = S[t1 , . . , tn ], S = Spec(A), qu’on ´enonce d’habitude le crit`ere jacobien (bien entendu, dans le cas classique envisag´e par Zariski, A ´etait un corps). 44 On laisse au lecteur de donner l’´enonc´e relatif `a la donn´ee d’un id´eal J de A[t1 , .

Tn ][s1 , . . , sm ] = Z[t1 , . . , sm ], donc X est ´etale sur Z[t1 , . . , sm ], cqfd. 5. — L’entier n qui figure dans d´ef. 1 est bien d´etermin´e, car on constate aussitˆot que c’est la dimension de l’anneau local de x dans sa fibre f −1 f (x) . On l’appelle « dimension relative » de X sur Y . Elle se comporte additivement pour la composition des morphismes. 1, que B est « essentiellement lisse » sur A. ` ´ D’UN MORPHISME 2. QUELQUES CRITERES DE LISSITE 27 2. 1. — Soit f : X → Y un morphisme localement de type fini, soit x ∈ X et y = f (x).

Un morphisme plat de type fini n’est pas n´ecessairement ´equidimensionnel en x, mˆeme si sa fibre en x est irr´eductible). Prouvons la r´eciproque. Comme f −1 (y) est lisse sur k (y) en x, on peut supposer (rempla¸cant au besoin X par un voisinage convenable de x) qu’il existe un Y -morphisme g : X −→ Y [t1 , . . , tn ] = Y ′ 33 induisant un morphisme ´etale sur les fibres de y, et a fortiori quasi-fini en x. Donc g est non ramifi´e, et (f ´etant ´equidimensionnel en x) les composantes irr´eductibles de X passant par x dominent chacun une composante de Y ′ , a fortiori l’homomorphisme u y ′ = g(x)) est injectif.

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